Горячева Татьяна Геннадьевна учитель математики 2005 г содержание программы: 1 пояснительная записка - страница 2



Урок 1.Тема: «Основные понятия комбинаторики и теории вероятностей. Термины и символы. Магические квадраты.»

Цель – Сформировать основные понятия комбинаторики, понятие теории вероятностей, термины и символы, решение математических квадратов, воспитание интереса к истории математики.
^ Ход урока:
Комбинаторика-раздел математики о выборе и расположении элементов некоторого множества на основании каких-либо условий.
Комбинаторика начала выделяться в отдельный раздел математики в
работах Б.Паскаля и П.Ферма, хотя отдельные понятия и факты комбинаторики были известны ещё математикам античности и

средневековья. Большой вклад в развитие комбинаторики внесли Г.Лейбниц, Я.Бернулли и Л.Эйлер. В их работах были даны определения основных понятий комбинаторики, развиты первые комбинаторные методы и указаны их применения, а также прослежена связь комбинаторики с исчислением вероятностей.

Комбинаторика занимается различного рода сочетаниями (соединениями), которые можно образовать из элементов некоторого

конечного множества. Термин «комбинаторика» происходит от латинского слова combina-сочетать, соединять.

Некоторые элементы комбинаторики были известны в Индии ещё во 2 в. до н.э. Индийцы умели вычислять числа, которые мы обозначаем через Сn, т.е. сочетания из n элементов, взятых по m,и знали формулу

Сn0 +Сn1 +… +Сnn=2n.

В 12 в. Бхаскара вычислял некоторые виды сочетаний и перестановки. Предполагают, что индийские ученые изучали соединения в связи с применением их в науке о структуре стихов и поэтических произведений, например, в связи с подсчетом возможных сочетаний ударных и безударных слогов, состоящих из n слогов. В Древней Индии, в Средней Азии и Китае была также известна частично таблица коэффициентов. Однако как научная дисциплина комбинаторика сформировалась лишь в 17 в.

Б.Паскаль в «Трактате об арифметическом треугольнике» и в «Трактате о числовых порядках» изложил учение о биномиальных коэффициентах, оперируя с ними как с сочетаниями. П.Ферма знал о связи магических квадратов и фигурных чисел с теорией соединений.

Термин «комбинаторика» стал употребляться после опубликования Лейбницем в 1666 г. работы «Рассуждение о комбинаторном искусстве»,в котором впервые дано научное обоснование теории сочетаний и перестановок. Изучением «размещений» впервые занимался Якоб Бернулли во второй части своей знаменитой книги

«Искусство предугадывания», опубликованной в 1713 г. Он же ввел соответствующий термин и употреблял в нашем смысле также термин «перестановка».Термин же «сочетание» применял ещё Б.Паскаль.

Современная символика сочетаний была предложена разными авторами учебных руководств лишь в 19 в. В частности, знак факториала (!) был введен в 1808 г. в одном французском учебнике Х. Крампа. Термин же «факториал» был образован от слова «фактор» (множитель), происходящего от латинского factor-производящий.
^ Известно, что формула


m n!

C n = приводит к введению :

m!(n-m)!


СM0


=1; 0!=1.


О том, что нуль-факториал должен быть по определению равен единице, писал ещё в 1656 г. Дж.Валлис в “Арифметике бесконечных “.

Во второй половине 18 в. наметилось большое её оживление, в связи с чем даже появилось название комбинаторный анализ , однако значитальных результатов достигнуто не было.Комбинаторика в известной мере способствовала развитию теории определителей, она нашла важнейшее применение в теории вероятности, параллельно с которой она развивалась в 17-18 в. в. В настоящее время она применяется также в некоторых вопросах теории групп и в квантовой механике.
^ Магические квадраты. Поместим натуральные числа от 1 до 9 в клетках размером 3х3 таким образом, чтобы все суммы чисел по горизонтали и по вертикали, а также по диагонали ^ были равные 15 (рис.1). Полученный квадрат, а также другие квадраты с теми же свойствами называют магическими квадратами.

(рис.1)
6
1 8
7 5 3
2 9 4

Известно, что составлением магических квадратов увлекались в Древнем Китае несколько тысяч лет назад.Существует единственный магический квадрат размером 3х3, внешне отличные от него варианты можно получить либо зеркальным отражением чисел относительно осей симметрии рассмотренного квадрата.

С увеличением количества клеток, на которые разбит квадрат, увеличивается число возможных магических квадратов. Например,число всевозможных магических квадратов размером 4х4 (с записью в его клетках чисел от 1 до 16 по оговоренным правилам ) уже 880, а число квадратов 5х5 более 200000.

Пример магического квадрата размером 4х4 приведён на рис.2.

16 3 2 13

5 10 11 8

9 6 7 12

4 15 14 1 (рис.2)

задача: №1.Продолжите составление магических квадратов, изображенных на рис.3.

  1. 9 * 4 * * * * * * * *

* 5 * 9 5 * * 5 * 3 5 *

* * * * * * 4 3 * 4 * *

(рис.3).

задача : №2. Используя повороты и осевые симметрии, постройте несколько магических квалратов размером 4х4, беря за основу квадрат, изображённый на рис.2.

Теорию вероятностей нередко называют «наукой о случайном».

На многих примерах можно убедиться в том , что массовые случайные явления тоже имеют свои закономерности, знание которых можно успешно использовать в практической деятельности человека.

Как наука теория вероятностей зародилась в 17 в. Возникновение понятия вероятности было связано как с потребностями страхования, получившего значительное распростронение в ту эпоху, когда заметно росли торговые связи и морские путешествия, так и в связи с запросами азартных игр. Слово «азарт», под которым обычно понимается сильное увлечение ,горячность, является транскрипцией французкого слова hasard ,буквально означающего «случай»,

«риск ».Азартными называются те игры (карты, домино и т.п.), в которых выигрыш зависит главным образом не от умения игрока, а от случайности.Риск , играющий важную роль в этих играх, и приводит участников в необычное состояние сильного увлечения и горячности.
Азартные игры практиковались в ту пору главным образом среди знати, феодалов и дворян. Особенно распространенной была игра в кости. Было замечено, что при многократном бросании одного кубика, все шесть граней которого отмечены соответственно числами 1,2,3,4,5,6, число очков от 1 до 6 выпадает в среднем одинаково часто, иными словами, выражаясь языком математики, выпадение определённого числа очков имеет вероятность, равную 1/6 (т.е. отношению числа случаев) .Вероятность события А в науке обозначают символом Р{A},где Р -начальная буква французкого слова Probabilite-вероятность, А -слова Accident-случайность, пришествие. Итак Р {А} =М/N , где N– общее число всех случаев, а М-число случаев, благоприятствующих событию.
Если А невозможно, то Р (А)=0, если же А –достоверное событие, то Р(А)=1.

Если 0<= М<=N ,то вероятность Р(А) любого события А можно считать лежащей между нулём и единицей, т. е.

0 <=Р (А) <=1.

Подсчет всех возможных и благоприятствующих данному событию случаев нередко представляет большие трудности. Вот почему для решения таких задач некоторые игроки обращались к крупным ученым. Рассказывают, что Х.Гюйгенсу был задан такой вопрос:'Если бросить одновременно три игральных кости, то какая сумма очков будет выпадать чаще-11 или 12?' Подсчет всех различных возможных случаев здесь прост: N=6*6*6=216.

На развитие теории вероятностей оказали влияние более серьёзные потребности науки и запросы практики, в первую очередь страховое дело, начатое в некоторых странах ещё в 16 в. Азартные игры были для ученых только удобной моделью для решения задач и анализа понятий теории вероятности . Об этом заметил ещё Гюйгенс в своей книге «О расчетах в азартной игре» (1657), которая была первой книгой в мире по теории вероятностей.

Благодаря теореме Бернулли теория вероятностей шагнула далеко за пределы вопросов азартных игр и применяется теперь во многих областях практической жизни и человеческой деятельности. В 1709 г. вышла в свет книга Бернулли «Примеры искусства ». В своей книге Муавр «Теория случаев» применил теоретико-вероятностные принципы для вывода числа сочетаний.

В 25-летнем возрасте Чебышев написал первую свою работу –«Опыт элементарного анализа теории вероятностей»(1845).

Со второй половины 19 в. и поныне русские, а затем советские математики занимают ведущее место в развитии теории вероятностей. В первом десятилетии

20 в. А.А. Марков положил начало теории зависимых случайных величин, так называемых «цепей Маркова». Теорию цепей Маркова затем значительно развили С.Н. Бернштейн, В.И. Романовский, А.Н. Колмогоров и французкие математики Ж. Адамар и И. Фреше.

А.Н. Колмогоров и А.Я. Хинчини положили начало общей теории случайных процессов. В настоящее время общепринятой стала аксиоматика, разработанная в 1933 г. А.Н. Колмогоровым. Среди видных современных математиков, разрабатывающих теорию вероятностей, следует назвать также Б.В. Гнеденко, внесшего важный вклад и в математическую статистику.

В настоящее время теория вероятностей продолжает развиваться в тесном контакте с развитием техники и разных ветвей современной теоретической и прикладной математики.

дом задание-лекция (математический диктант).

Урок № 2: «Решение исторических комбинаторных задач».

1369463803435893.html
1369590673481313.html
1369742408341410.html
1369912721217375.html
1370015054878517.html